摘 要：HK-CMF科氏力质量流量计的质量流量和密度参量的温度系数，与其材料的线膨胀系数和杨氏模量的温度系数有关，并可由谐振频率的温度系数求出：当采用1Cr18Ni9Ti时，在-10℃~60℃的温度范围内，质量流量参数的温度系数是-4.24×10^-4/℃ 。密度参数的温度系数是+4.24×10^-4/℃。

关键字：HKC科氏力质量流量计 质量流量温度系数 谐振频率

    HK-CMF科氏力质量流量计的振动管，是在谐振的状态下工作。其谐振频率与振动管的几何尺寸、材料的杨氏模量（或剪切模量）有关。杨氏模量（或剪切横量）又都与温度有关，故HKC科氏力质量流量HK-CMF度修正。并且要用实验求出HKC科氏力质量流量计的质量流量和密度示值的温度修正系数。

    1 振动管固有频率与杨氏模量（或剪切模量）温度系数、材料线胀系数的关系

    当振动管在其一次振型（同相位）振动时，这时的固有频率f₀₁可用下式表达：

    

    式中K为弹性系数，m为质量，l为振动管的等效长度，D、d为振动管的外径、内径，E为杨氏模量。如果我们考虑杨氏模量E的温度影响和振动管的尺寸温度影响，前式可表达为：

    

    若不考虑温度引起的高次项的影响时，则上式可表达为：

    

    我们以0℃为参考点，则上式在0℃时为：

    

    比较温度在0℃和t时f₀₁两公式的差异，我们可以得出下式：

    1 + 2α_ft = 1 +（α_E+α）t

    所以

    α_E = 2α_f  - α           （1）

    在（1）式中，α_E为杨氏模量的温度系数，α_f为振动管在一次振型谐振频率处，谐振频率的温度系数。α为振动管材料的线胀系数，1Cr₁₈Ni9Ti的α= 1.6×10^-5/℃。

    当振动管在其三次振型（异相）处扭转振动时.这时扭转振动固有频率为，可以表达为下式：

    

    式中K_G为扭转弹性系数，G为剪切弹性模量，r_i为某点的转动半径，m₁为某点的质量。如果也考虑温度影响时，上式可表达为：

    

    这时我们也以0℃为参考点，同样可以得到下式：

    1 + 2α_ft = 1 + α_Gt + αt

    所以

    α_G = 2α_f - α         （2）

    （2）式中α_G为剪切弹性模量的温度系数，α_f此时为振动管在三次振型（异相）下固有频率的温度系数。

    比较（1）、（2）式，发现两者形式相同，不同的是（1）式的α_f是在振动管的一次振型（同相）固有频率f₀₁下求得，（2）式中的α_f是在振动管三次振型（异相）固有频率f₀₃下求得。

    2 实验

    2.1 求杨氏模量E的温度系数α_E

    我们让HK-CMF科氏力质量流量计（未封外壳）振动管充满空气，放入精密控温箱内，控温精度为±0.5℃。用质量流量计的变送器测量f₀₁的频率值，准确度为±0.01Hz。当改变控温箱的温度时，可测得不同的频率。实验数据如表1。

    表1 实验数据

    从表1可以看到，求出的α_f是非线性的，我们只能取其平均值。非线性的原因，在参数资料（1）中已有分析。按照公式（1），我们可以求出：

    α_E = 2α_f - α = -4.08×10^-4/℃ （平均值）

    2.2 求剪切弹性模量G的温度系数α_G

    同样让HK-CMF科氏力质量流量计（未封外壳）充满空气，放入精密控温箱内。将质量流量计的一个速度传感器之信号作为控制信号，将另一个速度传感器作为力矩器使用，使质量流量计产生扭转振动（共振）。改变控温箱的温度，则可得到不同的扭振谐振频率。实验数据如表2所示。

    表2 实验数据

    从表2可以看到，在f₀₃处求到的温度系数α_f也是非线性的，根据式（2），我们可以求出：

    α_G = -4.09×10^-4/℃ （平均值）

    2.3 在温度影响下，f₀₃与f₀₁的关系

    我们将表1与表2的频率数据合成为一个表，如表3所示。

    表3 谐振频率的比值

温度（℃）	-10	0	20	40	60
同相振动f01（Hz）	132.88	132.61	132.07	131.50	139.91
异相振动f03（Hz）	223.19	222.74	221.82	220.87	219.88
f03/f01	1.6796	1.6797	1.6796	1.6796	1.6796

    从表3的数据可知，当温度变化时，HKC科氏力质量流量计振动管的固有频率f₀₁、f₀₃都要跟着变化，但是，在实验的温度范围内，f₀₃/f₀₁为一常数。这说明谐振系统的阻尼很小，杨氏模量和剪切弹性模量的温度系数相等，机械放大倍数基本不变。

    2.4 实验的影响因素

    以上的实验，我们都是假定空气的密度ρ=0，我们查表可知，在常压下，-13.15℃时空气的密度值ρ=1.3587kg/m³，在66.85℃得，空气ρ=1.0382kg/m³，在此80℃的温度范围内，空气密度值的平均变化量为-4.01×10^-3kg/m³/℃，振动管材为1Cr₁₈Ni₉Ti，其ρ=8000kg/m³，因此改变温度时，由于空气密度变化带来的影响为-5×10^-7/℃。可以忽略。

    最大的误差来源是变送器的频率测量误差（±0.01Hz），和精密控温箱的控温温度（±0.5℃）。

    3 HK-CMF科氏力质量流量计密度和质量流量的温度修正系数

    在HK-CMF科氏力质量流量计中，未加温度修正的密度测量公式为：

             （3）

    

    式中T₀₁、T₀₂分别为在0℃时振动管中充满空气和水的固有周期。T为某种介质测量时的固有周期。从上式我们可以知道，对所测固有周期T的修正，就是对所测密度值ρ的修正。周期和频率的关系如下：

    

    所以

    α_T = -α_f

    上式中的α_T为周期的温度系数。有温度修正的密度测量公式应为：

    ρ（1+α_ρt）= aT²（1-2α_ft）-b        （4）

    因为

    ρ= aT² - b

    所以

    ρ（α_ρt）= T²（-2α_ft）

    α_ρ = -2α_f                           （5）

    从前面实验（-10℃~60℃）所得的平均值：

    -2α_f = +4.24×10^-4/℃

    故输入到变送器中的密度温度修正系数应为：

    α_ρ = 4.24×10^-4/℃

    4 HKC科氏力质量流量计质量流量示值的温度修正

    HKC科氏力质量流量计质量流量的表示公式为：

            （6）

    虽然（6）式是由某一分析单元得出的表达式，但对大多数不同形状的振动管，其真正的质量流量表达式，也无非是在（6）式的基础上，乘上某一不同的常数，因此对温度影响的分析不会产生影响。式中的r为分析点的转动半径。考虑温度的影响，（6）式可表达为：

    

    考虑也是以0℃为参考点，则可得到：

    α_Q =α_G + α = 2α_f          （7）

    （7）式中α_Q为质量流量示值的温度修正系数，根据实验的数据，α_Q = 2α_f = -4.25×10^-4/℃（计算值为α_Q = -4.245×10^-4/℃ ）。

    5 结论

    （a）在（-10℃~60℃）范围内，考虑到频率测量准确度为±0.01Hz，控温精度为±0.5℃，在此实验条件下，杨氏模量和剪切模量的温度系数是相等的。

    α_E = α_G = -4.08×10^-4/℃ （相差仅为1×10^-6）

    因为

    

    μ为泊松比，α_E与α_G也应该相等。

    （b）在不同温度下（-10℃~60℃），f₀₃/f₀₁为常数，这进一步证明α_E和α_Q相等，并且谐振系统的阻尼很小，机械放大倍数基本不变。
    （c）输到变送器中的密度温度修正系数与质量流量温度修正系数，其绝对值同为振动管谐振频温度修正系数α_f的两倍，只是密度温度修正系数为正值，质量流量温度修正系数为负值。
    （d）由于频率温度修正系数的非线性问题，故要根据实用的温度使用范围来取平均值。用1Cr₁₈Ni₉Ti材料做的振动管，在-10℃~60℃的范围内，密度温度修正系数为+4.24×10^-4/℃，质量流量的温度修正系数为-4.24×10^-4/℃。