摘 要：本文建立了新型科氏质量流量计的力学模型，推导出其运动微分方程，并得到灵敏度计算表达式。

关键字：质量流量计 灵敏度 科里奥利力 波纹管

    1 引言

    本文所介绍的新型科氏质量流量计在普通U型管上装入了波纹管，由于波纹管刚度较小，导致流量管两侧位移差较大，提高了灵敏度。科氏质量流量计的实际振动形态很难用精确的函数表示，而一些近似的振动形式已经能够保证计算精度，本文在保持原结构的结构特征和受力特点不失真的前提下，建立了其力学模型，推导出运动微分方程，分析了灵敏度。

    2 结构与工作原理

    如图1所示，电磁激振器驱动U型管振动，被检测流体以质量流量Q_m流过管内。由于管的弯曲振动，管内流体产生了科氏加速度，流体每一个微元受到与科氏加速度相应的科氏力的作用，其反作用力作用于U型管。由于在管的两侧液体流速相反，所以受到方向相反的科氏力的作用，从而使U型管发生相对扭转变形，产生扭转振动。此扭转振动叠加在弯曲振动上，使管上B、D两个检测点通过振动中心有一个时间差Δt（通过检测器测出），（φ·2R=z_B^&·Δt，式中z_B^&为B截面通过振动中心的速度，（φ为扭角，是Q_m的表达式，从而可由上式得到质量流量。

    3 方程推导

    力学模型如图2所示。A、E端为固定端，C处受电磁驱动力F的作用，F=Pcosωt。由于波纹管的刚度远小于钢管，其变形远大于钢管，结构近似弹簧质量系统，钢管部分视为刚体，波纹管视为弹簧，其运动分为绕x轴的振动和绕y轴的振动两个独立运动。

    3.1 绕x轴的振动微分方程的推导

    绕x轴的运动近似为如图3所示的弹簧质量系统。

    图中N_x为弹性回复力，F_dx为空气阻力，F为电磁激振力。

    运动微分方程可写为：

    J_xθ+C_xθ+K_xθ=M₀cosωt    （1）

    式中：J_x--系统对x轴的转动惯量；
          C_x--等效粘性阻尼系数；
          K_x--系统的刚性系数；
          M₀cosωt--激振力产生的弯矩[M₀=P（L₁+L₂+R）]。

    3.1.1 方程（1）系数的计算

    （1）J_x的计算
    
    设波纹管单位长度上的质量为，钢管单位长度上的质量为，将其分为三部分计算（两个波纹管为第一部分，两段直管为第二部分，半圆为第三部分）。

    

    计算第三部分转动惯量：

    半圆绕x′轴的转动惯量为
    质心到x′轴的距离：

    

    绕质心的转动惯量为

    

    （2）阻尼系数C_x的确定

    将方程（1）化为标准方程得，

    

    通过实验测量有阻尼自由振动的振幅X_i和周期T，则得减幅系数，将（2）式代入得：

    

    这种方法简单且误差较小。

    （3）K_x的计算

    如图5，设单个波纹管的弹性系数为k′，悬臂波纹管在悬臂端受横向力Q和横向位移y之间的关系^[1，2]为。

    因系统为两根波纹管并联，所以系统的弹性系数

    3.1.2 方程（1）的求解

    方程（1）的特解表达式为：

    θ（t）=θ_xCOS（ωt-d）      （3）

    振幅：

    

    α为相位角。

    3.2 绕y轴的振动微分方程的推导

    近似的弹簧质量系统如图6所示，图中F_c为科氏力，F_d为空气阻力，N为弹性回复力。

    运动微分方程可写为：

    J_yφ+C_yφ+K_yφ=T₀sin（ωt-α）     （4）

    式中：J_y--系统相对Y轴的转动惯量；
          C_y--等效粘性阻尼系数；
          K_y—扭转振动系统的刚性系数；T0sin（ωt-
          T₀sin（cotω-α）--科氏力产生的扭矩。

    3.2.1 扭矩的计算

    如图2，直管内流体质量元dm产生科氏力大小为：

    

    式中ρ为流体密度，A为截面面积，v为流体流速。

    

    半圆管内流体质量元产生的科氏力大小为：

    

    3.2.2 方程（4）的系数计算

    （1）J_y的计算

    将流量管仍然分为同样的三部分计算，

    

    （2）计算K_y

    波纹管仍然受弯，计算方法与绕x轴振动相同，
 
    （3）阻尼系数C_y的确定

    C_y确定方法与C_x完全相同，不再详述。

    3.2.3 方程（4）的求解

    方程（4）特解为：
    
    φ（t）=Φsin（ωt-α-β） （6）

    振幅：

    

    β为相位角。

    4 灵敏度的计算

    B点速度：

    Z_B=（L₁+L₂）θ（t）     （8）

    将式（3）、（5）、（6）、（7）、（8）代入得：

    

    合理设计管子结构和选择材料、参数及在弱阻尼情况下，可取α、β为零，式（9）化为：

    

    所以灵敏度：

    

    此方法经过实例验证，证明了其正确性。

    参考文献

    [1] 樊大钧，刘广玉.新型弹性敏感元件设计[M].北京：国防工业出版社。1995：372-377.
    [2] 清华大学工程力学系固体力学教研组振动组.机械振动[M].北京：机械工业出版社，1980：54-57.
    [3] 樊大钧.波纹管设计学[M].北京：北京理工大学出版社.1995：265-268.
    [4] 范本隽，周一届.U型科里奥利质量流量计的力学分析与灵敏度计算[J].无锡轻工大学学报，1998，17（4）：81-85